Provavelmente você já deve ter estudado alguma coisa sobre as frações, não é mesmo? As frações são divisões que podem resultar em números inteiros ou racionais. Mas e a fração geratriz? Você já ouviu falar dela? Que tal aprender um pouco mais sobre ela aqui? Quando começamos a estudar matemática, aprendemos um pouco sobre os conjuntos numéricos. Entre eles, temos os conjuntos de números naturais, inteiros e racionais.
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Os números racionais
Para compreender a origem da fração geratriz precisamos entender como são os números racionais. Os números racionais são aqueles originados de uma divisão, seja ela exata ou não. Desta forma podemos classificar os números racionais como:
- Divisão exata – quando não sobra resto.
Exemplos:
20 : 2 = 10
21 : 3 = 7
28 : 7 = 4
- Decimais finitos – quando sobra um resto exato.
Exemplos:
5 : 4 = 1,25
9 : 5 = 1,8
15 : 2 = 7,5
- Dízima periódica – quando sobra um resto que se repete e é infinito.
Exemplos:
1 : 9 = 0,11111111…
32 : 99 = 0,32323232…
100 : 999 = 0,100100100100100…
Dízima periódica
São chamados de dízima periódica aqueles úmeros decimais que além de possuírem infinitas casas decimais têm também uma sequência numérica que sempre se repete. Veja o exemplo:
21 : 99 = 0,212121212121…
Se você observar, vai perceber que o número 21 se repete infinitas vezes, e esse número que sempre se repete na dízima periódica é chamado de período. E é a partir daí que surge a fração geratriz. Você sabe dizer como podemos encontrar a fração que deu a origem a uma certa dízima periódica?
Descobrindo a fração geratriz
A fração geratriz é aquela fração que dá origem a dízima periódica. Existem as dízimas periódicas simples e as compostas. Até o momento todas as dízimas periódicas que você viu acima são simples. Mas aí surge a dúvida, como saber quando ela é simples ou composta?
A dízima periódica simples é aquela em que existe apenas um período, e não há um anteperíodo, como: 0,252525252… Já a dízima periódica composta é aquela quem possui um anteperíodo que não se repete e em seguida vem um período que se repete infinitamente, como: 0,1713535353535…
Para descobrir a fração geratriz em uma dízima periódica simples, geralmente se usa o período como numerador e como denominador usamos o número 9 de acordo com a quantidade de dígitos do período. Vamos ver alguns exemplos?
0,1111111111… = 1/9
0,2525252525… = 25/99
0,3232323232… = 32/99
0,100100100100… = 100/999
Observe que o numerador da divisão sempre será o período e que o denominador sempre será o 9 e a quantidade de 9 varia de acordo com a quantidade de números do período. Se o período possui um número colocamos apenas um 9, se possui dois números colocamos dois 9 (99), se possui três números colocamos três 9 (999) e assim por diante.
Para descobrir a fração geratriz de uma dízima periódica composta devemos ver qual é o anteperíodo da dízima, como no exemplo anterior, temos: 0,17135353535. O anteperíodo dessa dízima é 171, se considerarmos o anteperíodo junto ao período teremos o número 17135. Então para descobrir a fração geratriz iremos subtrair o número 17135 da parte não periódica: 17135 – 171 = 16964. Da mesma forma que na dízima periódica simples, iremos colocar um 9 para cada número do período, como neste caso temos o período 35, colocaremos dois 9 (99) e em seguida um 0 para cada número que não faz parte do período. Veja:
17135 – 171 = 16964
16964/99000
Como o anteperíodo era formado por três números (171) colocamos três zeros no final. Podemos ainda simplificar essa fração, como o maior divisor comum é quatro teremos a fração simplificada igual a 4241/2475.