Já ouviu falar em MDC? O famoso Máximo Divisor Comum? Dois algarismos ou mais sempre têm divisores em comum, e o MDC é o responsável pelo processo que fazemos para descobrir quais são esses divisores em comum. Vamos ver como funciona?
O cálculo do MDC
Para calcularmos o MDC de dois ou mais números, geralmente utilizamos o processo de decomposição desses números em fatores primos. Veja o exemplo:
Temos os números 12 e 18, agora vamos verificar os divisores de cada um deles:
D (12) = {1 ,2, 3, 4, 6, 12}
D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
O 12 e o 18 possuem alguns divisores em comum, são eles: 1, 2, 3 e 6. Dessa forma, podemos observar que o maior divisor em comum desses dois números é o 6. Logo, o máximo divisor comum (MDC) é 6. Podemos expressar isso da seguinte forma:
MDC (12,18) = 6
Calculando o MDC pelo método das divisões sucessivas
Neste método, nós dividimos o maior número pelo menor até chegarmos a uma divisão exata. Caso essa divisão não seja exata de início, o número que antes era utilizado como divisor, passa a ser utilizado como dividendo e o resto da divisão passa a ser o novo divisor. E assim vai indo até que se chegue a uma divisão exata. Vamos ver como é na prática?
Temos os números 48 e 30, precisamos descobrir qual o MDC pelo método das divisões sucessivas.
48 / 30 = 1 (resto 18)
30 / 18 = 1 (resto 12)
18 / 12 = 1 (resto 6)
12 / 6 = 2 (resto 0)
MDC (48, 30) = 6
Observe que começamos dividindo o número maior pelo menor, como a divisão não foi exata, pegamos o menor número, que foi 30 e dividimos pelo resto da divisão, que neste caso foi 18. A divisão ainda não foi exata, pois sobrou 12, então dividimos o 18 por 12. A divisão ainda não foi exata, então dividimos o 12 por 6 (que foi o resto) e essa sim é uma divisão exata, pois não sobra resto. Então chegamos ao resultado final, o MDC é 6.
Como descobrir o MDC de um conjunto de números?
Essa é uma pergunta importante, vimos acima como descobrir o MDC de dois números, mas e quando são três ou mais, como fazemos? Podemos descobrir de duas formas, com a fatoração dos números ou escolhendo dois deles para aplicar o método das divisões sucessivas até encontrar o MDC desses números, e em seguida testamos esse resultado com o terceiro número. Vamos ver como se faz!
- Por fatoração:
Temos os números: 15, 75 e 105. Vamos descobrir o MDC deles fatorando cada um.
15 = 3 x 5
75 = 3 x 52
105 = 3 x 5 x 7
Observe que na fatoração desses números dois são comuns nos três. Encontramos o número 3 em cada um deles e também o número 5. Dessa forma encontramos o MDC. Veja:
MDC (15, 75, 105) = 3 x 5 = 15
O máximo divisor comum de 15, 75 e 105 é 15.
- Escolhendo dois números para a divisão sucessiva
Temos os números 9, 15 e 27. Vamos descobrir o MDC deles fazendo a divisão sucessiva. Vou escolher os dois últimos para fazer a divisão.
27 / 15 = 1 (resta 12)
15 / 12 = 1 (resta 3)
12 / 3 = 4 (resta 0)
MDC ( 27, 15) = 3
Descobrimos então o MDC de 27 e 15, agora vamos testar com o 9.
9 / 3 = 3 (resta 0)
MDC (9, 15, 27) = 3
Dessa forma, podemos observar que o MDC de 9, 15 e 27 é 3.