Função quadrática e suas propriedades

Qualquer função f de IR em IR representada por uma lei da forma f(x)=ax²+bx+c, em que a, b e c são números reais e a≠0, será denominada de função quadrática ou mesmo função polinomial do 2º grau. Observe os casos exemplificados abaixo:

• f(x) = 3x² – 4x  + 1, em que a = 3, b = – 4 e c = 1
• f(x) = x² -1, em que a = 1, b = 0 e c = -1
• f(x) = 2x² + 3x + 5, em que a = 2, b = 3 e c = 5
• f(x) = – x² + 8x, em que a = -1, b = 8 e c = 0
• f(x) = -4x², em que a = – 4, b = 0 e c = 0

Representação gráfica

Parábola é o nome de uma curva a qual expressa a representação gráfica de uma função polinomial do 2º grau, y=ax²+bx+c, sendo a≠0.

Exemplificando:

Para desenhar o gráfico da função y=x²+x é preciso, primeiramente, atribuir valores a x e, posteriormente, efetuar o cálculo que corresponde a y. Feito isso o próximo processo é apenas ligar no gráfico os pontos obtidos.

Observe a representação:

X = -3; -2; -1; -1/2; 0; 1; 2.

Y= 6; 2; 0; -1/4; 0; 2; 6.

Importante: é possível observar que, ao fazer a representação gráfica da função quadrática y=ax²+bx+c, será possível identificar que:

• A parábola terá concavidade direcionada para cima se a > 0.
• A parábola terá concavidade direcionada para baixo se a < 0.

Equação do 2º grau e do zero

Os números reais “x” tais que f(x) seja igual a 0, da função polinomial do 2º grau f(x)=ax²+bx+c, a≠0, são chamados de zeros ou raízes.

Assim, as raízes da função f(x)=ax²+bx+c são as soluções da equação do 2º grau ax²+bx+c=0, estas obtidas por meio de uma fórmula bastante conhecida denominada de Bhaskara:

x = – b +- √b² – 4ac/2a

De tal modo que temos: f(x)=0 → ax2 + bx + c = 0 → x = – b +- √b² – 4ac/2a

Importante: O valor obtido para o radicando Δ= b²– 4ac, denominado discriminante, é determinante para precisar a quantidade de raízes reais de uma função quadrática. Ou seja:

• Duas raízes reais e distintas existem quando Δ é positivo.
• Há somente uma raiz real quanto Δ é equivalente a zero.
• Não há raiz real quando Δ é negativo.